Спортивну кар'єру Олексій Щебетун почав в запорізькій дитячо-юнацькій школі «Металург». Звідти в 2013 році він перейшов в академію київського «Динамо», де зайняв сильну позицію. У сезоні 2014-15гг Олексій Щебетун визнаний кращим бомбардиром, як в динамівській команді U-19, так і U-21.

Олексій Щебетун активно залучався до ігор юнацьких збірних України (команда U-17 (9 матчів - 5 голів), команда U-19 (19 матчів - 10 голів).

Виступав Олексій Щебетун і в Юнацької Лізі УЄФА. У дебютному сезоні на євроарені Щебетун запам'ятався переможним голом у дуже важливій грі на виїзді з португальським "Порту", коли в результаті кияни зуміли вийти з групи.

У липні 2017 року на правах оренди Щебетун перейшов в кам’янську "Сталь". Потім грав у мінському "Проміні", де провів вісім матчів у Вищій Лізі.

Наразі Олексій Щебетун підсилить склад запорізького міського футбольного клубу «Металург».

- Продовжуємо посилювати команду, нам не вистачає реалізації в атаці, переконаний, Олексій нам в цьому допоможе. Молодий, але досвідчений футболіст, пограв у вищій лігах України та Білорусі, і що важливо для нас - вихованець запорізького футболу, - зазначив заступник міського голови Анатолій Путсоваров, коментуючи підписання контракту з Щебетуном.

Нагадаємо, що 12 червня 2018 року ГФК «Металург» отримав атестат професійного клубу. У цьому сезоні запорізька міська команда грає в другій професійній лізі та в Кубку України.